题目
2005 年高考全国 I 卷 理科第 21 题
已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点, →OA+→OB 与 a=(3,−1) 共线。
- 求椭圆的离心率;
- 设 M 为椭圆上任意一点,且 →OM=λ→OA+μ→OB(λ,μ∈R) ,证明 λ2+μ2 为定值.
解析一
- 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) , F(c,0) ,则直线 AB 的方程为 y=x−c ,由 {y=x−c, x2a2+y2b2=1,消去 y 得 (a2+b2)x2−2a2cx+a2c2−a2b2=0设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 {Δ>0, x1+x2=2a2ca2+b2, x1x2=a2c2−a2b2a2+b2由 →OA+→OB=(x1+x2,y1+y2),→a=(3,−1) , →OA+→OB 与 →a 共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0又 y1=x1−c,y2=x2−c ,所以 3(x1+x2−2c)+(x1+x2)=0即 x1+x2=3c2 ,所以 2a2ca2+b2=3c2所以 a2=3b2 ,所以 c=√a2−b2=√6a3 ,故离心率 e=ca=√63 .
- 由 (1) 知 a2=3b2 ,所以椭圆 x2a2+y2b2=1 可化为 x2+3y2=3b2设 →OM=(x,y) ,由已知得 (x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)所以 {x=λx1+μx2, y=λy1+μy2,因为 M(x,y) 在椭圆上,所以 (λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2即 λ2(x21+3y21)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2由 x21+3y21=3b2,x22+3y22=3b2 ,可得 λ2+μ2=1−2λμ(x1x2+3y1y2)3b2(1)由 (1) 知 x1+x2=32c,a2=32c2,b2=12c2所以 x1x2=a2c2−a2b2a2+b2=38c2.所以 x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1−c)(x2−c) =4x1x2−3(x1+x2)c+3c2 =32c2−92c2+3c2 =0代入 (1) 式得 λ2+μ2=1 .故 λ2+μ2 为定值,定值为 1 .
解析二
- 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) , F(c,0) ,A(x1,y1),B(x2,y2) , ,由 {x22a2+y22b2=1,(1) x22a2+y22b2=1,(2)(2)−(1)整理得: y2−y1x2−x1×y2+y1x2+x1=−b2a2(3)由 →OA+→OB=(x1+x2,y1+y2),→a=(3,−1) , →OA+→OB 与 →a 共线,得 y2+y1x2+x1=−13(4)又因为直线 AB 的斜率为 1 ,所以 y2−y1x2−x1=1(5)将 (4) 、(5) 代入 (3) 得 a2=3b2所以 c=√a2−b2=√6a3 ,故离心率 e=ca=√63 .
- 将点 A,B 用参数方程表达,即 {x1=acosα,y1=bsinα,{x2=acosβ,y2=bsinβ,其中不妨设 α,β∈[0,2π) 且 α<β,则 M(a(λcosα+μcosβ),b(λsinα+μsinβ))代入椭圆方程得 (λcosα+μcosβ)2+(λsinα+μsinβ)2=1所以 λ2+μ2+2λμcos(α−β)=1将 A(acosα,bsinα) 代入直线 AB 的方程 y=x−c 得 bsinα=acosα−c由 (1) 得 a=√3b,c=√2b 代入上式得 sinα=√3cosα−√2所以 cos(α+π6)=√22同理 cos(β+π6)=√22由α,β∈[0,2π) 且 α<β,所以 α+π6=π4,β+π6=7π4,所以 β−α=3π2所以 cos(α−β)=0所以 λ2+μ2=1.
注解
解法二证明 cos(α−β)=0 ,可以设 M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ)
则 M,N 为直线 m:y=√3x−√2 与圆 O:x2+y2=1 的交点,利用圆心 O 到 m 的距离 d=√22
易得 ∠MON=90∘,从而 →OM⋅→ON=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α−β)=0.