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代点法与定值问题

题目

2005 年高考全国 I 卷 理科第 21
已知椭圆的中心为坐标原点 O, 焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A,B 两点, OA+OBa=(3,1) 共线。

  1. 求椭圆的离心率;
  2. M 为椭圆上任意一点,且 OM=λOA+μOB(λ,μR) ,证明 λ2+μ2 为定值.

解析一

  1. 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) , F(c,0) ,则直线 AB 的方程为 y=xc ,由 {y=xc, x2a2+y2b2=1,
    消去 y(a2+b2)x22a2cx+a2c2a2b2=0
    A(x1,y1),B(x2,y2) ,则 {Δ>0, x1+x2=2a2ca2+b2, x1x2=a2c2a2b2a2+b2
    OA+OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,1)OA+OBa 共线,得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0
    y1=x1c,y2=x2c ,所以 3(x1+x22c)+(x1+x2)=0
    x1+x2=3c2 ,所以 2a2ca2+b2=3c2
    所以 a2=3b2 ,所以 c=a2b2=6a3 ,故离心率 e=ca=63 .
  2. (1)a2=3b2 ,所以椭圆 x2a2+y2b2=1 可化为 x2+3y2=3b2
    OM=(x,y) ,由已知得 (x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
    所以 {x=λx1+μx2, y=λy1+μy2,
    因为 M(x,y) 在椭圆上,所以 (λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2
    λ2(x21+3y21)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2
    x21+3y21=3b2,x22+3y22=3b2 ,可得 λ2+μ2=12λμ(x1x2+3y1y2)3b2(1)
    (1)x1+x2=32c,a2=32c2,b2=12c2
    所以 x1x2=a2c2a2b2a2+b2=38c2.
    所以 x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1c)(x2c) =4x1x23(x1+x2)c+3c2 =32c292c2+3c2 =0
    代入 (1) 式得 λ2+μ2=1 .故 λ2+μ2 为定值,定值为 1 .

解析二

  1. 设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1(a>b>0) , F(c,0) ,A(x1,y1),B(x2,y2) , ,由 {x22a2+y22b2=1,(1) x22a2+y22b2=1,(2)
    (2)(1)整理得: y2y1x2x1×y2+y1x2+x1=b2a2(3)
    OA+OB=(x1+x2,y1+y2),a=(3,1)OA+OBa 共线,得 y2+y1x2+x1=13(4)
    又因为直线 AB 的斜率为 1 ,所以 y2y1x2x1=1(5)
    (4)(5) 代入 (3)a2=3b2
    所以 c=a2b2=6a3 ,故离心率 e=ca=63 .
  2. 将点 A,B 用参数方程表达,即 {x1=acosα,y1=bsinα,{x2=acosβ,y2=bsinβ,
    其中不妨设 α,β[0,2π)α<β,则 M(a(λcosα+μcosβ),b(λsinα+μsinβ))
    代入椭圆方程得 (λcosα+μcosβ)2+(λsinα+μsinβ)2=1
    所以 λ2+μ2+2λμcos(αβ)=1
    A(acosα,bsinα) 代入直线 AB 的方程 y=xcbsinα=acosαc
    (1)a=3b,c=2b 代入上式得 sinα=3cosα2
    所以 cos(α+π6)=22
    同理 cos(β+π6)=22
    α,β[0,2π)α<β,所以 α+π6=π4,β+π6=7π4,
    所以 βα=3π2
    所以 cos(αβ)=0
    所以 λ2+μ2=1.

注解

解法二证明 cos(αβ)=0 ,可以设 M(cosα,sinα),N(cosβ,sinβ)

M,N 为直线 m:y=3x2 与圆 O:x2+y2=1 的交点,利用圆心 Om 的距离 d=22
易得 MON=90,从而 OMON=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(αβ)=0.