题目

$2005 $ 年高考全国 $I$ 卷理科第 $21$ 题
已知椭圆的中心为坐标原点 $ O, $ 焦点在 $ x $ 轴上,斜率为 $ 1 $ 且过椭圆右焦点 $ F $ 的直线交椭圆于 $ A,B $ 两点, $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} $ 与 $ a=(3,-1) $ 共线。

求椭圆的离心率;
设 $ M $ 为椭圆上任意一点,且 $ \overrightarrow{OM}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}(\lambda ,\mu \in \mathbb{R}) $ ,证明 $ \lambda ^2+\mu^2 $ 为定值.

解析一

设椭圆方程为 $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ , $ F\left( c,0 \right) $ ,则直线 $ AB $ 的方程为 $ y=x-c $ ,由 $$ \left\{\begin{array}{l} y=x-c,\\\ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1, \end{array} \right. $$ 消去 $ y $ 得 $$ \left( a^2+b^2 \right)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0 $$ 设 $ A\left( x_1,y_1 \right),B\left( x_2,y_2 \right) $ ,则 $$ \left\{\begin{array}{l} \Delta>0, \\\ x_1+x_2=\dfrac{2a^2c}{a^2+b^2},\\\ x_1x_2=\dfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2} \end{array} \right. $$ 由 $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\left( x_1+x_2,y_1+y_2 \right),\overrightarrow a=\left( 3,-1 \right) $ ， $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} $ 与 $ \overrightarrow a $ 共线，得 $$ 3\left( y_1+y_2 \right)+\left( x_1+x_2 \right)=0 $$ 又 $ y_1=x_1-c,y_2=x_2-c $ ,所以 $$ 3\left( x_1+x_2-2c \right)+\left( x_1+x_2 \right)=0 $$ 即 $ x_1+x_2=\dfrac{3c}{2} $ ,所以 $$ \dfrac{2a^2c}{a^2+b^2}=\dfrac{3c}{2} $$ 所以 $ a^2=3b^2 $ ,所以 $ c=\sqrt{a^2-b^2}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3} $ ,故离心率 $ e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} $ .
由 $ \left( 1 \right) $ 知 $ a^2=3b^2 $ ,所以椭圆 $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 $ 可化为 $$ x^2+3y^2=3b^2 $$ 设 $ \overrightarrow{OM}=\left( x,y \right) $ ,由已知得 $$ \left( x,y \right)=\lambda\left( x_1,y_1 \right)+\mu\left( x_2,y_2 \right) $$ 所以 $$ \left\{\begin{array}{l} x=\lambda x_1+\mu x_2, \\\ y=\lambda y_1+\mu y_2, \end{array} \right. $$ 因为 $ M\left( x,y \right) $ 在椭圆上,所以 $$ \left( \lambda x_1+\mu x_2 \right)^2+3\left( \lambda y_1+\mu y_2 \right)^2=3b^2 $$ 即 $$ \lambda^2\left( x_1^2+3y_1^2 \right)+\mu^2 \left( x_2^2+3y_2^2 \right)+2\lambda\mu\left( x_1x_2+3y_1y_2 \right)=3b^2 $$ 由 $ x_1^2+3y_1^2=3b^2, x_2^2+3y_2^2 =3b^2 $ ,可得 $$ \lambda^2+\mu^2=1-\dfrac{2\lambda\mu\left( x_1x_2+3y_1y_2 \right)}{3b^2}\qquad (1) $$ 由 $ (1) $ 知 $$ x_1+x_2=\dfrac{3}{2}c,\quad a^2=\dfrac{3}{2}c^2,b^2=\dfrac{1}{2}c^2 $$ 所以 $$ x_1x_2=\dfrac{a^2c^2-a^2b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{3}{8}c^2. $$ 所以 $$ \begin{aligned} x_1x_2+3y_1y_2&=x_1x_2+3\left( x_1-c \right)\left( x_2-c \right)\\\ &=4x_1x_2-3\left( x_1+x_2 \right)c+3c^2\\\ &=\dfrac{3}{2}c^2-\dfrac{9}{2}c^2+3c^2\\\ &=0 \end{aligned} $$ 代入 $ (1) $ 式得 $ \lambda^2+\mu^2=1 $ .故 $ \lambda^2+\mu^2 $ 为定值，定值为 $ 1 $ .

解析二

设椭圆方程为 $ \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) $ , $ F\left( c,0 \right) $ ,$A(x_1,y_1) ,B(x_2,y_2)$ , ,由 $$ \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1,&\quad(1)\\\ \dfrac{x_2^2}{a^2}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1, &\quad(2)\end{array} \right. $$ $(2)-(1)$整理得: $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\times \dfrac{y_2+y_1}{x_2+x_1}=-\dfrac{b^2}{a^2} \qquad (3)$$ 由 $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\left( x_1+x_2,y_1+y_2 \right),\overrightarrow a=\left( 3,-1 \right) $ ， $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB} $ 与 $ \overrightarrow a $ 共线，得 $$ \dfrac{ y_2+y_1 }{x_2+x_1 }=-\dfrac{1}{3} \qquad (4) $$ 又因为直线 $AB$ 的斜率为 $1$ ,所以 $$\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=1 \qquad (5)$$ 将 $(4)$ 、$(5)$ 代入 $(3)$ 得 $$ a^2=3b^2 $$ 所以 $ c=\sqrt{a^2-b^2}=\dfrac{\sqrt{6}a}{3} $ ,故离心率 $ e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3} $ .
将点 $A$,$B$ 用参数方程表达，即 $$ \left\{\begin{array}{l} x_1=a\cos\alpha,\\y_1=b\sin\alpha ,\end{array}\right. \qquad \left\{\begin{array}{l} x_2=a\cos\beta,\\y_2=b\sin\beta ,\end{array}\right.$$ 其中不妨设 $\alpha,\beta\in[0,2\pi)$ 且 $\alpha<\beta$,则 $$ M\left(a(\lambda\cos\alpha+\mu\cos\beta),b(\lambda\sin\alpha+\mu\sin\beta)\right) $$ 代入椭圆方程得 $$ (\lambda\cos\alpha+\mu\cos\beta)^2+(\lambda\sin\alpha+\mu\sin\beta)^2=1 $$ 所以 $$\lambda^2+\mu^2+2\lambda\mu\cos\left(\alpha-\beta\right)=1 $$ 将 $A(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$ 代入直线 $AB$ 的方程 $y=x-c$ 得 $$b\sin\alpha=a\cos\alpha-c$$ 由 $(1)$ 得 $a=\sqrt{3}b,c=\sqrt{2}b$ 代入上式得 $$\sin\alpha=\sqrt{3}\cos\alpha-\sqrt{2} $$ 所以 $$\cos(\alpha+\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 同理 $$\cos(\beta+\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} $$ 由$\alpha,\beta\in[0,2\pi)$ 且 $\alpha<\beta$,所以 $$\alpha+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4},\qquad \beta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{4},$$ 所以 $$\beta-\alpha=\dfrac{3\pi}{2} $$ 所以 $$\cos(\alpha-\beta)=0$$ 所以 $\lambda^2+\mu^2=1 $.

注解

解法二证明 $\cos(\alpha-\beta)=0$ ,可以设 $$M(\cos\alpha,\sin\alpha),N(\cos\beta,\sin\beta)$$ 则 $M,N$ 为直线 $m:y=\sqrt{3}x-\sqrt{2}$ 与圆 $O:x^2+y^2=1$ 的交点，利用圆心 $O$ 到 $m$ 的距离 $$d=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ 易得 $\angle MON=90^\circ $,从而 $$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)=0.$$