题目

$2004$ 年高考全国 $I$ 卷理科第 $22$ 题
已知数列 $ \{a_n\} $ 中 $ a_1=1, $ 且 $ a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k, a_{2k+1}=a_{2k}+3^k, $ 其中 $ k=1, 2, 3, \cdots. $

解析

由题意 $$ a_2=a_1+\left( -1 \right)^1=0,\quad a_3=a_2+3^1=3,\quad a_4=a_3+\left( -1 \right)^2=4,\quad a_5=a_4+3^2=13, $$ 所以 $ a_3=3,a_5=13. $
因为 $ a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k, $ 所以 $$ a_{2k+1}=a_{2k}+3^k=a_{2k-1}+\left( -1 \right)^k+3^k $$ 所以 $ a_{2k+1}-a_{2k-1}=\left( -1 \right)^k+3^k $ ,所以 $$ \begin{aligned} a_3-a_1&=(-1)^1+3^1,\\\ a_5-a_3&=(-1)^2+3^2,\\\ a_7-a_5&=(-1)^3+3^3,\\\ \cdots&\cdots \\\ a_{2k+1}-a_{2k-1}&=\left( -1 \right)^k+3^k \end{aligned} $$ 上式相加得 $$ a_{2k+1}-a_1=\left[ \left( -1 \right)^1+\left( -1 \right)^2+\cdots+\left( -1 \right)^k \right]+\left( 3^1+3^2+\cdots+3^k \right) $$ 所以 $$ a_{2k+1}-1=\dfrac{-1-\left( -1 \right)^{k+1}}{2}+\dfrac{3-3^{k+1}}{3} $$ 所以 $$ a_{2k+1}=\dfrac{3^{k+1}+(-1)^k}{2}-1\qquad (1) $$ 所以当 $ n $ 为奇数时, $$ a_n=\dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}+(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{2}-1. $$ 由 $ (1) $ 得 $ a_{2k-1}=\dfrac{3^{k}+(-1)^{k-1}}{2}-1 $ ,所以 $$ a_{2k}=a_{2k-1}+(-1)^k=\dfrac{3^{k}+(-1)^{k-1}}{2}-1+\left( -1 \right)^k=\dfrac{3^k+(-1)^k}{2}-1 $$ 所以当 $ n $ 为偶数时, $$ a_n=\dfrac{3^{\frac{n}{2}}+(-1)^{\frac{n}{2}}}{2}-1. $$ 综上所述, $$ a_n=\left\{\begin{array}{ll} \dfrac{3^{\frac{n+1}{2}}+(-1)^{\frac{n-1}{2}}}{2}-1,&\text{当}n\text{为奇数},\\\ \dfrac{3^{\frac{n}{2}}+(-1)^{\frac{n}{2}}}{2}-1,&\text{当}n\text{为偶数}. \end{array} \right. $$