不变的纵坐标

题目

如图，点 $P$ 在椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上，直线 $PQ$ 与圆 $O:x^2+y^2=b^2$ 相切于点 $M$,且 $OP\perp OQ$. 求点 $Q$ 的纵坐标的值.

解法一

分别作 $PA,QB$ 垂直于 $y$ 轴，垂足分别为 $A,B$ 如下图，

在 $\mathrm{Rt}\triangle OPQ$ 中，由等面积可得

$$\dfrac{1}{m^2}+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{b^2}$$ 又 $$\cos^2\theta=\dfrac{x^2_P}{m^2}=\dfrac{y^2_Q}{n^2}$$ 两式消去 $n^2$ 化简得 $$y^2_Q=\dfrac{b^2x_P^2}{m^2-b^2}$$ 所以 $$y^2_Q=\dfrac{b^2x_P^2}{x_P^2+y_P^2-b^2}$$ 注意到 $\dfrac{x_P^2}{a^2}+\dfrac{y_P^2}{b^2}=1$ ,所以 $$y^2_Q=\dfrac{b^2x_P^2}{x_P^2+b^2\left( 1-\frac{x_P^2}{a^2} \right)-b^2}=\dfrac{a^2b^2}{a^2-b^2}.$$ 所以点 $Q$ 的纵坐标为 $\pm\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-b^2}}$ .

解法二

以坐标原点为极点,以 $x$ 轴正半轴为极轴,建立极坐标系, 则椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的极坐标方程为

$$\dfrac{\rho^2\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\rho^2\sin^2\theta}{b^2}=1$$ 即 $$\dfrac{1}{\rho^2}=\dfrac{\cos^2\theta}{a^2}+\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}$$ 设点 $Q$ 的极坐标为 $\left( \rho_1,\theta \right)$ ,点 $P$ 的极坐标为 $\left( \rho_2,\theta+\dfrac{\pi}{2} \right)$ ,将 $P$ 代入椭圆的极坐标方程得 $$\dfrac{1}{\rho_2^2}=\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2}$$ 在 $\mathrm{Rt}\triangle OPQ$ 中，由等面积可得 $$\dfrac{1}{\rho_1^2}+\dfrac{1}{\rho_2^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}=\dfrac{1}{b^2}$$ 所以 $$\dfrac{1}{\rho_1^2}=\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{\rho_2^2}$$ 即 $$\dfrac{1}{\rho_1^2}= \dfrac{1}{b^2}-\left( \dfrac{\sin^2\theta}{a^2}+\dfrac{\cos^2\theta}{b^2} \right)=\dfrac{\sin^2\theta}{b^2}-\dfrac{\sin^2\theta}{a^2}$$ 整理得 $$\rho_1^2\sin^2\theta=\dfrac{a^2b^2}{a^2-b^2}$$ 所以点 $Q$ 的纵坐标为 $\pm\dfrac{ab}{\sqrt{a^2-b^2}}$ .