题目

$($ 晋中市 $2018$ 年 $3$ 月高考适应性考试理科第$12$题 $)$
已知函数 $f(x)$ 是定义在区间 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，满足 $f(x)>0$ 且 $f(x)+f’(x)<0(f’(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导函数 $)$.若 $0 < a < 1 < b$ 且 $ab=1$,则下列不等式一定成立的是
$(A).f(a) > (a+1)f(b) \quad (B).f(b) > (1-a)f(a)\quad (C).af(a) > bf(b)\quad (D).af(b) > bf(a)$

解析

令 $g(x)=e^xf(x) (x>0)$,由题设有 $$g’(x)=e^x\left(f(x)+f’(x)\right) < 0$$ 所以 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减，又 $0 < a < 1 < b$,所以 $ g(b) < g(a) $,即 $$ e^bf(b) < e^af(a) $$ 所以 $$\dfrac{f(a)}{f(b)}>\dfrac{e^b}{e^a} $$下面证明 $$\dfrac{e^b}{e^a}> \dfrac{b}{a}$$ 注意到 $ab=1$,只需证明 $b>1$ 时，有 $$ e^{b-\frac{1}{b}}>b^2 $$ 两边取对数，只需证明 $$2\ln b < b-\dfrac{1}{b}\quad (b>1)$$ 即证明 $x>1$时, $$\ln x < \dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{x}\right) $$ It’s well known.所以 $$\dfrac{f(a)}{f(b)}>\dfrac{b}{a} $$ 即 $$af(a)>bf(b).$$

注解

本题也可以取函数 $f(x)=a^{-x}(a>e)$ 通过适当的取值，利用极限思维采取排除法求解.