题目
已知函数 $ f\left( x \right)=xe^{x-1}+ax^2+2ax-a\left( a\in \mathbf{R} \right) $ .
- 求 $ f\left(x\right) $ 的单调区间;
- 若 $ f\left(x\right) $ 在 $ \left( 0,+\infty \right) $ 上有两个零点，求实数 $ a $ 的取值范围.
解析
- $ f\left(x\right) $ 的导函数为 $$ f’\left( x \right)=\left( x+1 \right)\left( e^{x-1}+2a \right) $$
- 当 $ a\geqslant 0 $ 时, 若 $x\in(-\infty,-1)$,$f’\left( x \right)<0 $,若 $x\in(-1,+\infty), f’ \left( x \right)>0 $,所以 $ f\left(x\right) $ 单调减区间为 $ \left( -\infty,-1 \right) $ ,增区间为 $ \left( -1,+\infty \right) $ .
- 当 $ a<0 $ 时，令 $ f’\left( x \right)=0 $ 得, $$ x_1=-1,x_2=1+\ln\left( -2a \right) $$
- 若 $ a = - \dfrac{1}{2e^2} $ ,则 $ f’\left( x \right)\geqslant0 $ , $ f\left(x\right) $ 增区间为 $ \left( -\infty,+\infty \right) $.
- 若 $-\dfrac{1}{2e^2} < a < 0$ ,则 $x\in(-\infty,x_2)\cup(x_1,+\infty)$ 时， $f’\left( x \right)>0$ , $x\in(x_2,x_1)$ 时， $f’\left( x \right)<0$, 所以 $f\left( x \right)$ 的增区间为 $\left( -\infty,1+\ln\left( -2a \right) \right)$ , $\left( -1,+\infty \right)$ ,减区间为 $\left( 1+\ln\left(-2a \right),-1 \right)$ .
- 若 $a<-\dfrac{1}{2e^2}$,则 $x\in(-\infty,x_1)\cup(x_2,+\infty)$ 时， $f’\left( x \right)>0 $ , $x\in(x_1,x_2)$ 时， $f’\left( x \right)<0$, 所以 $f\left( x \right)$ 的增区间为 $\left( -\infty, -1 \right)$ , $\left(1+\ln\left( -2a \right),+\infty \right)$ ,减区间为 $\left( -1, 1+\ln\left(-2a \right) \right)$.
- 当 $a\geqslant -\dfrac{1}{2e^2}$ 时，由 $\left( 1 \right)$ 可得， $f\left( x \right)$ 在 $\left( 0,+\infty \right)$ 上单调递增，不可能有两个零点.
当 $a<-\dfrac{1}{2e^2}$ 时，要使 $f\left( x \right)$ 由两个零点，需 $$\left\{\begin{array}{l}x_2>0, \\\\f\left( x_2 \right)<0,\end{array} \right.$$ 因为 $ f’\left( x_2 \right)=0 $ ,所以 $ e^{x_2-1}=-2a $ ,所以 $$ f\left( x_2 \right)=-2ax_2+ax_2^2+2ax_2-a=a\left( x_2^2-1 \right) < 0 $$ 故 $$x_2 > 1$$ 即 $$1+\ln\left( -2a \right)>1$$ 所以 $$a\in\left(-\dfrac{1}{2} ,-\dfrac{1}{2e}\right)$$ 此时 $$f(0)=-a>0,f(x_2)<0,x\to+\infty,f(x)\to +\infty$$ 使得 $f(x)$ 在 $ (0,+\infty)$ 有两个零点.
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left( -\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{2e} \right)$ .