题目

$($ 晋中市 $ 2018 $ 年 $ 1 $ 月高考适应性调研考试文科第 $10$ 题,理科第 $8$ 题 $)$
已知函数 $f\left(x\right)=a\sin x+b\cos x\left( x\in \mathbf{R} \right)$,若 $x=x_0$ 是函数$f\left(x\right)$的一条对称轴，且 $\tan x_0=2$,则点 $\left( a,b \right)$ 所在的直线为
$(A).2x-y=0$ $\qquad (B).x+2y=0$
$(C).x-2y=0$ $\qquad(D).2x+y=0$

解法一(导数法):可导函数在对称轴处导数为零

由题意 $$f’\left( x_0 \right)=a\cos x_0-b\sin x_0=0$$ 所以 $$a-b\tan x_0=0$$ 又 $\tan x_0=2$ ,所以 $a-2b=0$ , 即 $\left( a,b \right)$ 在 $x-2y=0$ 上.

解法二(对偶式): $$\left( a\sin x+b\cos x \right)^2+\left( a\cos x-b\sin x \right)^2=a^2+b^2$$

由题意 $$ f\left( x_0 \right)=a\sin x_0+b\cos x_0=\pm\sqrt{a^2+b^2} \quad (1)$$ 又因为 $$\left( a\sin x_0+b\cos x_0 \right)^2+\left( a\cos x_0-b\sin x_0 \right)^2=a^2+b^2$$ 将 $(1)$ 代入得 $$a\cos x_0-b\sin x_0=0 $$ 又 $\tan x_0=2$ ,所以 $a-2b=0$ , 即 $\left( a,b \right)$ 在 $x-2y=0$ 上.

解法三(函数对称法):$f(a+x)=f(b-x)$ 则 $f(x)$ 关于$x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称

因为 $f\left( x \right)$ 关于 $x=x_0$ 对称，所以 $$ f\left( x_0-x \right)=f\left( x_0+x \right) $$ 令 $x=x_0$可得 $$ f\left( 0 \right)=f\left( 2x_0 \right) $$ 所以 $$ b=a\sin 2x_0+b\cos 2x_0\qquad (2)$$ 因为 $\tan x_0=2$ ,所以 $$ \sin 2x_0=\dfrac{2\sin x_0\cos x_0}{\sin^2x_0+\cos^2x_0}=\dfrac{2\tan x_0}{1+\tan^2x_0}=\dfrac{4}{5} $$ $$ \cos 2x_0=\dfrac{\cos^2 x_0-\sin^2 x_0}{\sin^2x_0+\cos^2x_0}=\dfrac{1-\tan^2 x_0}{1+\tan^2x_0}=-\dfrac{3}{5} $$ 代入 $\left( 2 \right)$ 整理得 $a-2b=0$, 即 $\left( a,b \right)$ 在 $x-2y=0$ 上.

解法四(构造向量法):本质是柯西不等式

设 $\overrightarrow{m}=\left( a,b \right),\overrightarrow{n}=\left( \sin x,\cos x \right) $ 则 $$ f\left( x \right)=\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n} $$ 所以 $$ |f\left( x \right)|=|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}||\cos\langle \overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\rangle|\leqslant |\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|$$ 当且仅当 $\overrightarrow{m}//\overrightarrow{n}$ 时，$f\left( x \right)$ 取最值$f\left( x_0 \right)$ ,此时 $x=x_0$ 为 $f\left( x \right)$ 对称轴，所以 $$ a\cos x_0-b\sin x_0=0 $$ 又 $\tan x_0=2$ ,所以 $a-2b=0$, 即 $\left( a,b \right)$ 在 $x-2y=0$ 上.

解法五(辅助角公式):$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left( x+\varphi \right)$

因为 $$f\left( x \right)=a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin\left( x+\varphi \right)$$ 其中 $$\tan\varphi=\dfrac{b}{a} $$ 因为 $x=x_0$ 是 $f\left( x \right)$ 的对称轴，所以 $$ f\left( x_0 \right)=\pm \sqrt{a^2+b^2},$$即 $$ \sin\left( x_0+\varphi \right)=\pm1 ,$$所以 $$ x_0+\varphi=k\pi+\dfrac{\pi}{2}\left( k\in \mathbf{Z} \right) $$ 所以 $$ \varphi=k\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_0 ,$$ 所以 $$ \tan \varphi =\tan \left( k\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_0 \right)=\dfrac{1}{\tan x_0} $$ 又 $\tan x_0=2$ ,所以 $$ \dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2} $$ 所以 $a-2b=0$ , 即 $\left( a,b \right)$ 在 $x-2y=0$ 上.