题目

已知 $ x_0 $ 是方程 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 的实数根，则关于实数 $ x_0 $ 的判断正确的是
$(A). x_0>\ln 2 $ $ (B). 2x_0+\ln x_0=0 $ $ (C).x_0<\dfrac{1}{e} $ $ (D).2e^{x_0}+\ln x_0=0 $

解析

由 $ 2x^2e^{2x}+\ln x=0 $ 可得
$$ 2xe^{2x}=-\dfrac{\ln x}{x}=(-\ln x)e^{-\ln x} $$ 设 $ f\left( x \right)=xe^x\left( x>0 \right) $ ,由题意 $$ f\left( 2x_0 \right)=f\left( -\ln x_0 \right)(x_0>0) $$ 由 $ f’\left( x \right)=e^x\left( x+1 \right) $ 可得 $ f\left( x \right) $ 在 $ \left( 0,+\infty \right) $ 单调递增，所以 $$ 2x_0=-\ln x_0 $$ 所以 $ 2x_0+\ln x_0=0 $ .

练习题

已知 $x_1,x_2$ 分别是方程 $x{\rm e}^x={\rm e}^2$ 和 $x\ln x={\rm e}^2$ 的解，则$x_1x_2=$____.