题目

已知函数 $$ f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2013}}{2013},$$ $$g(x)=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}-\cdots-\dfrac{x^{2013}}{2013} $$ 设函数 $ F(x)=f(x+3)\cdot g(x-4) $ ,且函数 $ F(x) $ 的零点均在区间 $ [a,b] $,$(a,b \in \mathbb{Z} ) $ ，则 $ b-a $ 的最小值为 $\underline{\hspace{2cm}}$.

解析

由 $ f(x)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+\dfrac{x^{2013}}{2013} $ 及等比数列求和公式，
当 $ x\neq -1 $ 时 $$ f’(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots +x^{2012}=\dfrac{1+x^{2013}}{1+x} $$ 当 $ x\leqslant 0 $ 时， $$ f’(x)=1-x+x^2-x^3+\cdots +x^{2012}>0; $$ 当 $ x>0 $ 时, $$ f’(x)=\dfrac{1+x^{2013}}{1+x}>0; $$ 故 $ f’(x)>0 $ ，故 $ f(x) $ 是增函数，最多有一个零点 ,又 $$ f(0)= 1 > 0,f(-1)=1-1-\dfrac12-\dfrac 13-\dfrac 14-\cdots-\dfrac{1}{2013} < 0 $$ 故 $ f(x) $ 的零点在 $ (-1,0) $ 上,故 $ f(x+3) $ 零点在 $ (-4,-3) $ 上. 显然 $$ f(x)+g(x)=2, $$ 从而 $ g(x)=2-f(x) $ ，故 $$ g’(x)= - f’(x)<0 ,$$故$g(x)$是减函数,最多有一个零点,又$$g(1)="1-1+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{2012}-\dfrac{1}{2013}\right)">0$$且$$g(2)=1-2+\left( \dfrac{2^2}{3}-\dfrac{2^3}{4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{2^{2012}}{2012}-\dfrac{2^{2013}}{2013}\right)<0$$ 所以 $g(x)$ 的零点在 $ (1,2) $ 上, 所以 $g(x-4)$ 零点在 $(5,6)$ 上.
综上 $ F(x) $ 的零点在 $[-4,6]$ 上，故 $b-a$ 的最小值为 $ 10 $ .