题目
已知数列 $ \{a_n\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_n $ , $ a_1=1 $ 且
$$ \begin{split}
\left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\left( n\geqslant2 \right)
\end{split} $$ 求数列 $ \{a_n\} $ 的通项公式.
解法一:求差相消法
由题意 $$
\begin{split}
\left( n+1 \right)S_n & =\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\left( n\geqslant2 \right) \qquad (1) \\
\left( n+2 \right)S_{n+1} & =\left( n+4 \right)S_{n}+2\left( n\geqslant1 \right) \quad\qquad (2)
\end{split} $$
$ \left( 1 \right)-\left( 2 \right) $ 整理得:
$$ \begin{split}
\left( n+2 \right)S_{n+1}-\left( n+2 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_n-\left( n+3 \right)S_{n-1}\left( n\geqslant2 \right)
\end{split} $$
所以 $$
\begin{split}
\left( n+2 \right)a_{n+1}=\left( n+3 \right)a_n\left( n\geqslant2 \right)
\end{split} $$ 由 $ \left( 1 \right) $ 及 $ a_1=1 $ 可得 $ S_2=\dfrac{7}{3},a_2=\dfrac{4}{3} $ ,所以 $$ 3a_2=4a_1 $$ 也满足上式.所以 $ n\geqslant1 $ 时
$$ \dfrac{a_{n+1}}{n+3}=\dfrac{a_n}{n+2} $$ 所以 $ \left\{ \dfrac{a_n}{n+2} \right\} $ 为常数列,所以 $ \dfrac{a_n}{n+2}=\dfrac{a_1}{1+2}=\dfrac 13 $ ,所以 $ a_n=\dfrac{n+2}{3} $ .
解法二:构造数列法
当 $ n \geqslant 2 $ 时 $$ \begin{split}
& \left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\\
\Longleftrightarrow & \left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+\left( n+3 \right)-\left( n+1 \right)\\
\Longleftrightarrow & \left( n+1 \right)\left( S_n+1 \right)=\left( n+3 \right)\left( S_{n-1}+1 \right)\\
\Longleftrightarrow & \dfrac{S_n+1 }{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)} =\dfrac{S_{n-1}+1 }{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \end{split} $$ 所以数列 $ \left\{ \dfrac{S_n+1 }{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)} \right\} $ 为常数列, 所以 $$ \dfrac{S_n+1 }{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}=\dfrac{a_1+1}{12}=\dfrac{1}{6}
$$ 所以 $$ S_n=\dfrac{1}{6}\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)-1.$$ 所以 $ n\geqslant2 $ 时, $ a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n+2}{3} $ ,对 $ n=1 $ 也成立.
所以 $ a_n=\dfrac{n+2}{3} $ .
解法三:累加法
当 $ n\geqslant2 $ 时,两边同除以 $ \left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right) $ ,
$$ \begin{split}
&\left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\\
\Longleftrightarrow& \dfrac{S_n }{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)} -\dfrac{S_{n-1} }{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\dfrac{2}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}=\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}-\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}
\end{split} $$ 令 $ b_n=\dfrac{S_n }{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)} $ ,则 $ b_1=\dfrac{a_1}{12}=\dfrac{1}{12} $ ,且 $ b_n-b_{n-1}=\dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}-\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}\left( n\geqslant2 \right) $ ,故 $$ \begin{split}
b_n=&b_1+\left( b_2-b_1 \right)+\left( b_3-b_2 \right)+\cdots+\left( b_n-b_{n-1} \right)\\
=&\dfrac{1}{12}+\left( \dfrac{1}{3\cdot4}-\dfrac{1}{4\cdot5} \right)+\left( \dfrac{1}{4\cdot5}-\dfrac{1}{5\cdot6} \right)+\cdots+\left( \dfrac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}-\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)} \right)\\
=&\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{\left( n+2 \right)\cdot\left( n+3 \right)}
\end{split} $$ 所以 $$ S_n=\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)b_n=\dfrac{1}{6}\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)-1.
$$ 所以 $ n\geqslant2 $ 时, $ a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n+2}{3} $ ,对 $ n=1 $ 也成立.
所以 $ a_n=\dfrac{n+2}{3} $ .
解法四:累乘法
当 $ n\geqslant2 $ 时
$$ \begin{split}
&\left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+2\\
\Longleftrightarrow& \left( n+1 \right)S_n=\left( n+3 \right)S_{n-1}+\left( n+3 \right)-\left( n+1 \right)\\
\Longleftrightarrow& \left( n+1 \right)\left( S_n+1 \right)=\left( n+3 \right)\left( S_{n-1}+1 \right)\\
\Longleftrightarrow& \dfrac{S_n+1 }{S_{n-1}+1 } =\dfrac{ n+3 }{ n+1 }
\end{split} $$ 令 $ b_n=S_n+1 $ ,则 $ b_1=a_1+1=2 $ ,且 $ \dfrac{b_n}{b_{n-1}}=\dfrac{n+3}{n+1}\left( n\geqslant2 \right) $ ,
所以 $$ \begin{split}
b_n=&b_1\times\dfrac{b_2}{b_1}\times\dfrac{b_3}{b_2}\times\dfrac{b_4}{b_3}\times\cdots\times\dfrac{b_n}{b_{n-1}}\\
=&2\times \dfrac{5}{3}\times\dfrac{6}{4}\times\dfrac{7}{5} \times\cdots\times \dfrac{n+3}{n+1}\\
=&2\times\dfrac{\frac{\left( n+3 \right)!}{4!}}{\frac{\left( n+1 \right)!}{2}}=\dfrac{\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)}{6}
\end{split} $$ 所以 $$ \begin{split}
S_n=b_n-1=\dfrac{1}{6}\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)-1.
\end{split} $$ 所以 $ n\geqslant2 $ 时, $ a_n=S_n-S_{n-1}=\dfrac{n+2}{3} $ ,对 $ n=1 $ 也成立.
所以 $ a_n=\dfrac{n+2}{3} $ .