题目
本题来源于微信群山西高中数学大教研
求 $$\sin 1^\circ\sin 2^\circ\sin3^\circ\cdots\sin89^\circ $$ 的值.
解析
先证明一个引理
引理
对 $ n\in N $ 且 $ n\geqslant 2 $,有
$$\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdots \sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}} $$
证明
记 $\omega=\cos \dfrac{2\pi}{n}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2\pi}{n},(n=2,3,4\cdots) $,设
$$ f(z)=z^n-1=(z-1)(z-\omega)(z-\omega^2)\cdots(z-\omega^{n-1}) $$
两边求导并令 $z=1$ 得$$ f’(1) = n = (1-\omega) (1-\omega^2) \cdots (1-\omega^ {n-1} )\qquad \qquad (1)$$
当 $k=1,2,\cdots,n-1 $ 时,
$$|1-\omega^{k}|= \sqrt{\left(1-\cos\dfrac{2k\pi}{n}\right)^2+\left(\sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)^2}=\sqrt{2-2\cos\dfrac{2k\pi}{n}}=2\sin\dfrac{k\pi}{n}$$
由 $(1)$ 及上式可得
$$2^{n-1}\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdots \sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=n $$
故
$$\sin\dfrac{\pi}{n}\sin\dfrac{2\pi}{n}\cdots \sin\dfrac{(n-1)\pi}{n}=\dfrac{n}{2^{n-1}}.\qquad \square$$
在引理中令 $n=180$ 则
$$ \begin{aligned}
&\sin\dfrac{\pi}{180}\sin\dfrac{2\pi}{180}\cdots\sin\dfrac{89\pi}{180}\sin\dfrac{90\pi}{180}\dfrac{91\pi}{180}\cdots\sin\dfrac{179\pi}{180}\\
=&\left(\sin\dfrac{\pi}{180}\sin\dfrac{2\pi}{180}\cdots\sin\dfrac{89\pi}{180}\right)^2=\dfrac{180}{2^{179}}=\dfrac{90}{2^{178}}
\end{aligned}
$$
所以
$$\sin 1^\circ\sin 2^\circ\sin3^\circ\cdots\sin89^\circ=\sqrt{\dfrac{90}{2^{178}}}= \dfrac{3\sqrt{10}}{2^{89}}.$$
注解
本题也可以采用三倍角公式 $$4\sin\alpha\sin(60^\circ-\alpha)\sin(60^\circ+\alpha)=\sin3\alpha $$ 来求解.