题目

若实数 $a,b,c,d$ 满足 $ a^2+b^2=c^2+d^2 $ ,求 $$ \dfrac{20bc+14bd+20ad-14ac}{a^2+b^2+c^2+d^2} $$ 的最大值.

解法一

由柯西不等式 $$ \left( 20 (bc + ad) + 14 (bd - ac) \right)^ 2 \leqslant \left( 20^2 + 14^2 \right) \left( ( bc+ ad)^2 + (bd-ac)^2 \right) $$ 由拉格朗日恒等式 $$ (a^2 + b^2) ( c^2 + d^2) = ( bc + ad) ^2 + (bd - ac) ^2 $$ 与 $ a^2+b^2=c^2+d^2 $ 可得 $$ \left( 20 (bc + ad) + 14 (bd - ac) \right)^ 2 \leqslant 596 ( a^2 + b^2)^2 $$ 所以 $$ \left| \frac{ 20 (bc+ad) + 14 (bd - ac) } { a^2 + b^2 + c^2 + d^2 } \right| \leqslant \sqrt{ 149 }. $$

当 $ a = 0, b = \sqrt{596}, c = 20, d = 14 $ 时取最大值 $ \sqrt{149} $.

解法二

设 $ a^2+b^2=c^2+d^2=r^2 $ ,则可设 $$ a=r\sin\alpha,b=r\cos\alpha, c=r\sin\beta, d=r\cos\beta $$ 于是 $$ \begin{split} & \frac{ 20 (bc+ad) + 14 (bd - ac) } { a^2 + b^2 + c^2 + d^2 }\\\\\ = & \dfrac{20r^2\cos\alpha\sin\beta + 14r^2\cos\alpha\cos\beta + 20r^2\sin\alpha\cos\beta - 14r^2 \sin\alpha\sin\beta}{2r^2}\\\\\ = & 10(\sin\alpha\cos\beta + \sin\beta\cos\alpha)+7(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\\\\ = & 10\sin(\alpha+\beta)+7\cos(\alpha+\beta)\\\\\ = & \sqrt{149}\sin\left( \alpha+\beta+\varphi \right)\leqslant \sqrt{149}. \end{split} $$ 其中 $ \cos\varphi=\dfrac{10}{\sqrt{149}},\sin\varphi=\dfrac{7}{\sqrt{149}} $ ,
当 $ \sin\left( \alpha+\beta \right)=\cos\varphi,\cos\left( \alpha+\beta \right)=\sin\varphi $ 等式成立.
可取 $ a = 0, b = \sqrt{596}, c = 20, d = 14 $ ,使得等式成立，所以最大值为 $ \sqrt{149} $.